你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。这一讲的主题是：数列和级数：要知道当下很重要，但趋势更重要。
有人问我，是否通过学习数学提高了见识水平？公平地讲，很难找到某一个数学知识点，学了之后让见识马上提升，这种直接产生效果的知识我是没有遇到。但是通过学习一些数学知识和方法，帮助我形成了系统的做事方法，并且改进了看待世界的角度，这却不是虚言。
今天和大家分享两点体会，第一点是我们如何举一反三，通过对单个事件，或者说对个案的研究，寻找出对一系列问题的通解，第二点是从很多孤立事件出发，看到并理解趋势和规律。
为了说明这两点，在接下来的几讲里我们用数列这个专题作为例子，练习把握从个体到群体的规律。当然，讲数列还有一个目的，就是承上启下，它会用到前面讲的黄金分割的知识，并且为后面讲极限、无穷大和无穷小奠定基础。
我们先来看一个具体的数列，给你这样一串数字：
1，1，2，3，5，8，13，……
如果我来问大家下一个数字应该是什么，比较善于琢磨规律的人会指出，由于每一个数字（除了前两个）都是前面两个数字之和，因此下一个应该是21，即8+13。这个答案完全正确，这样一连串有规律的数字放到一起，就形成了我们要说的数列。
上面这个数列，就是数学中鼎鼎大名的斐波那契数列。在这个数列中，我们是有规律可循的，根据数列中开头几个元素的具体数值，知道整个数列每一个位置元素的数值，就是提升自己从孤立事件里发现规律的能力。
数列其实在今天中国的小学已经讲到，比如常见的两种数列分别是这样的：
1，2，3，4，5，6，7，……以及1，2，4，8，16，32，……
前一种数列由于相邻两个数字（我们称之为元素）的差距都是1，因此被称为等差数列，后一种由于相邻两个数字的比值都是相同的（都是2），因此被称为等比数列。
在学校里，老师会讲从1加到100怎么计算，也会讲到等比数列（也被称为几何数列）会增长很快。但是为什么要把这些数字放到一起研究，其实老师们是语焉不详的。当然即使老师讲，以小学生的理解能力也未必能体会。因此今天我们就从这里入手，讲讲数列和数字的关系。
数列是一种工具。它看似是一串数字，但这里重要的是彼此的关联，以及数字的规律，而不是数字本身。那些规律和我们现实生活中一些事情的发展过程相关，于是这个工具就能够运用到我们真实的世界里了。
比如我们后面要讲到的媒体转播的发散和收敛问题，以及利息问题，就和几何数列有关。以斐波那契数列为例，它其实反映出一个物种自然繁衍，或者一个组织自然发展过程中成员的变化规律。斐波那契数列最初是这样描述的：
有一对兔子，它们生下了一对小兔子，前面的我们叫做第一代，后面的我们叫做第二代。然后这两代兔子各生出一对兔子，这样就有了第三代。这时第一代兔子老了，就生不了小兔子了，但是第二、第三代还能生，于是它们生出了第四代。然后它们不断繁衍下去。那么请问第N代的兔子有多少对？这个数列，就是1，1，2，3，5，8，13，21，……
如果我们稍微留心一下这个数列的增长速度，虽然它赶不上1，2，4，8，16这样的翻番增长，但其实也很快，也呈现出一种指数增长的趋势。在现实生活中，兔子的繁殖曾经就是这么迅猛。
1859 年，一个名叫托马斯·奥斯汀的英国人移民来到澳大利亚，他喜欢打猎，但发现澳大利亚没有兔子可打，便让侄子从英国带来了24只兔子。
这24只兔子到了澳大利亚后被放到野外，由于没有天敌，它们便快速繁殖起来。兔子一年能繁殖几代，年初刚生下来的兔子，年底就会成为“曾祖”。几十年后，兔子数量飙升至40亿只，这在澳大利亚造成了巨大的生态灾难。
有人可能会问，为什么不吃兔子？澳大利亚人也确实从1929年开始吃兔子肉了，但是吃的速度没有繁殖的快。澳大利亚政府甚至动用军队捕杀，也收效甚微。
最后，在1951年，澳大利亚引进了一种能杀死兔子的病毒，终于消灭了99％以上的兔子，可是少数大难不死的兔子产生了抗病毒***，于是“人兔大战”一直延续至今。从这个故事我想说的是，真遇上指数增长的事情，是非常可怕的。
接下来，我们就定量地分析一下斐波那契数列增长有多快。我们不妨用Fn代表数列中第n个数，那么Fn+1就表示其中的第n+1个数。我们再用Rn，代表Fn+1和Fn的比值，也就是后一个数和前一个数的比值，你可以把它们看成是数列增长的相对速率。
下面的表给出了斐波那契数列中前12个元素的数值，以及增长的速率。
大家可以看出Rn这个比值，很快趋近于1.618了，这恰好是黄金分割的比例。这个结论说明，数学的各个知识点，可能存在某种天然的联系，这似乎是数学这套系统本身浑然天成的结果，因此很多人讲这其实就是数学之美的体现。
我们课程从毕达哥拉斯，讲到黄金分割，然后通过黄金分割，由此把一些数学知识关联起来。这其实就是一个学习数学的技巧了，绝大部分时候不在于题做得有多难，而在于你闭上眼睛，能够用一两条关键的线索把各个知识点串联起来。
通过上面这个比例，我们需要说明两件事情。首先，虽然这个数列最终的走向是收敛于黄金分割的比例，但是在一开始的几个数，并不符合这个规律。这在数学上不是偶然现象，很多时候，仅仅通过少数几个数字得到的所谓的“规律”，其实和采用大量数据后得到的规律完全是两回事，这一点要特别注意。
其次，上述这个比率，几乎是一个企业扩张时能够接受的最高的员工数量增长速率，如果超过这个速率，企业的文化就很难维持了。企业在招入新员工时，通常要由一个老员工带一个新员工，缺了这个环节，企业的人一多就各自为战了。
而当老员工带过两三个新员工后，他们都会追求更高的职业发展道路，不会花太多时间继续带新人了，因此带新员工的人基本也就是职级中等偏下的人，这很像兔子繁殖，只有那些已经***成熟而且还年轻的在生育。
我们在谈到等比数列时，通常会想到指数爆炸，变得越来越大。但是还有另一类等比数列，它们的数字每一个都比前一个小，最终就会趋近于零。
炒股的人有这样的经验，如果每次损失10%，用不了几次就损失一半了，这就是等比数列中每一个数字都在不断按比例衰减的结果。具体讲，大约6次，就会损失一半，大约13次就会损失3/4。
再举一个例子，今天用于测定年代的碳-14测定法，利用的就是这个原理。碳-14是自然界里一种天然的元素，是宇宙射线照射大气的产物，因此它会不断产生，但是它有放射***，因此过一段时间会衰变掉一部分，于是它在自然界保持着一个动态平衡。
生物体在活着的时候，会吸入大气中的碳-14元素（通过二氧化碳），因此它体内的比例就和自然界的比例相同。但是生物体一死，就不会再吸入碳-14了，因此体内碳-14的比例就会逐渐降低。
根据生物遗骸体内碳-14的比例，结合碳-14衰变的速率（也称为半衰期），就能算出古代生物体距今的时间。所以，对于等比数列，我们一般理解的是快速上涨，但是它也可能代表不断地衰减。
数列，其实讲的就是一个趋势。很多时候，我们不仅关心当前这个数有多大，或者我们有多少钱，多少资源，还关心明天它能变得多大，变得多快，这就是数列的意义。至于等差数列，其实是缓慢上涨的，即使每一个都比前面的大，到后来的增长也很不明显。
也就是说，同样是增长的趋势，我们还需要关心积累的速度。比如说，一个刚工作的年轻人，一年挣10万元，能存20%的收入，他每年的工资增长10%。当地的房价是300万元，首付要20%也就是60万，那么他工作多少年能够付得起首付呢？
这就要计算数列中每一个元素之和了，这个算出来的和，被称为级数。具体到这个问题，我们知道这位年轻人第一年能存2万元，第二年能存2.2万，然后是2.42万、2.66万、2.93万……假如他要存N年才能凑够首付，这个N最后算出来就是15年。
计算公式：S（N）= 2（1 + 1.1 + 1.1^2 + 1.1^3 + …… + 1.1^[N-1])
建议你亲自算一算这道题，这样你就更能体会为什么必须进步，而且要比同龄人更快地进步了。
思考题：
如果房价保守估计，每年上涨3%，那年轻人又需要存多少年呢？
要点总结：
- 我们通过数列（和级数），扭转一下大家对数学的认识：数学大部分时候研究的不是一个个孤立的数，而是要揭示一些规律和趋势。
- 我们通过斐波那契数列介绍了几何数列可能会带来的指数爆炸问题；同时我们还介绍了另一种几何数列——不断递减的数列。通过斐波那契数列，将它和我们前面介绍的黄金分割关联起来。让大家体会到数学知识点的关联***。
- 在数列这个领域，我们不仅关心趋势，还关心积累的效果，这是我们接下来两讲要讲的内容。
我们下一讲再见。
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11 赞请问吴军老师，斐波那契数列越往后就越接近收敛于黄金分割定律，大数定律是不是也是这种现象，初始的数值随机，数据越多，规律就逐渐出现了，而且趋于稳定？14小时前作者回复在讲到概率论时会讲到这个问题12小时前
75 赞#数学助教# 【斐波那契数列的 Rn】 1. 首先，假设第 F(n) 代表数列的第 n 个数，那么数列的第 (n+1) 个数 F(n+1) = F(n) + F(n-1). 2. 等式两端同时除以 F(n)，则会发现：F(n+1)/F(n) = 1 + F(n-1)/F(n), 相当于 R(n) = 1 + 1/R(n-1) 3. 由上面我们可以得到一个结论：2 > R(2n+1) > R(2n-1) > 1，2 > R(2n-2) > R(2n) > 1。（如果觉得不显然，可以自己推导感受一下智力愉悦） 4. 由此可知，R(2n) 和R(2n-1) 都是单调数列，一个递减一个递增，并且只在 (1, 2) 区间内。借用数学里面的定理：单调有界必收敛（“收敛”就是存在极限的意思）。 5. 假设 R(n) 收敛到 k，则有 k = 1 + 1/k，该等式在 (1, 2) 区间上的解就是黄金分割比 (sqrt(5)+1)/2 ~1.618。 【药物在人体内的半衰期】 一种药物在人体内的半衰期是八小时，说的是每过八个小时，药物在人体的浓度就变为原来的一半。 医生所谓的“一天 n 次”，其实是为了保证药物在人体保持有效浓度之上，这个 n 次，与半衰期密切相关。 因此，用药时间尽量在一天中均匀分配~ 【贴现率】 经济学名词“贴现率”，指的是一件事物在未来的价值相对于现在所打的折扣。如果贴现率（一年）是 0.1，那么，一年后的10块钱，就只值 9 块钱。 不同的事物有不同的贴现率，奢侈品、外表、知识，……自己判断。 每个人心目中也隐含了一个“贴现率”的数值，它体现了你对未来的估值。这个值越高，说明你对未来越不看好；相反，如果你的“贴现率”越低，说明你越看重未来。 有人会为了未来的蓝图忍受当前的苦，有人则喜欢及时行乐。 他们只是有着不同的“贴现率”而已。10小时前
45 赞增量比存量值钱，趋势比当下重要。 投资股市的人，不仅担心亏损，更怕连续亏损。连续6次损失10%，100元就剩53元 (0.9^6=0.531441)，因此连续判断失误是投资人的警讯。 那么大涨大跌的投资型态，和每年7%的股息比较起来，孰优孰劣呢？假设前者回报是 +20%, -30%, +40%，那么三年下来总报酬是 17.6%；而后者将股利再投入，能有22.5%的成绩。趋势更加重要，因此ETF渐成散户的首选，“定存股”也变为显学。 学习数列，对我思考人生的意义甚远。在二、三十岁的阶段，大家都会对自己的职涯或浪漫、或迷茫，小心翼翼地处理职场政治，深怕影响前途而不敢大展拳脚。但从数列的角度思考，我们更该在意自己在哪个行业 (数列)，而非身处哪个位置 (元素)，即便第一份工作非自己向往的数列，那么也不必过于担心，某A数列的第三个元素数值，可能是某B数列的第五个元素数值，人生路程的快慢只需和自己交代、不必与他人比较。 硅谷来信第355封，吴军老师谈论先就业后择业的看法，推荐大家复习分享。每个行业领域都是个数列，理解自己身处的数列，比汲汲营营自己是哪个元素、在哪个位置还来得重要，与各位共勉。17小时前
41 赞#数学助教# #如何利用碳断定年代# 吴军老师今天提到测定年代的碳-14测定法，我给大家拓展一个更「化学」的解释，帮助你理解。 利用碳断定年代，主要利用的是碳的一种同位素（质子数相同，在元素周期表中位置相同的元素，称为同位素）碳-14。碳-14是碳元素的同位素之一（普通碳元素是碳-12，它的原子核由6个质子和6个中子，而碳-14的原子核由6个质子和8个中子组成），碳-14主要由宇宙射线照射氮元素产生。宇宙射线与大气作用产生宇宙射线中子，宇宙射线中子再与大气中的氮-14发生核反应生成碳-14，最后碳-14成为CO2进入生态系统的碳循环中。同时，碳-14会衰变变回非放射***氮-14，其半衰期为5730年，也就是说1 mol的碳-14在5730年后会变成0.5 mol的碳-14和0.5 mol的氮-14。 在自然界中，由于亿万年中碳-14在不断的产生和衰变，最终达到了一个平衡值，可以认为碳-14与碳-12在大气中的比例不变。另一方面，植物通过光合作用吸收大气中的CO2，碳元素（包括碳-14）便进入植物体内，动物最终又以植物为生，碳-14同样也分布在动物体内构成了动物的躯体，而且碳-14与碳-12的比例同大气中一样。当这些动物或者植物死去后，便不再和外界进行碳交换，它们体内的碳-14就不能够继续维持同大气中一样的平衡值了，而是每过5730年缩减一半，直至4万年后碳-14的含量低的检测不出来。因此，从考古遗迹中的碳-14与碳-12的比例便可以知道遗迹的年代。18小时前
27 赞学习第6讲黄金分割时，在评论中写到第一时间想到了斐波那契数列，没想到今天老师还真讲到了。 吴军老师在过去的课程里，一直在强调趋势的重要***。想到我在中学时代，就经常被数学老师拿那个当年看来很新奇、如今看来很老套的公式激励。假如现在的能力是1，如果每天进步1%，一年后就是1.01的365次方，会变成现在的37.8倍；如果每天退步1%，一年后就是0.99的365次方，会变成现在的0.03。“终身学习，终身成长”不是一句口号；“比我们优秀的人，比我们更努力”也绝不是耸人听闻。 关注趋势，关心积累，每天进步，积累优势。17小时前
赞#一起学数学DAY8# 很喜欢吴军老师的讲法和升级呀。化学里的半衰期、生物学里的繁衍率竟然就这样用数列联系起来了。 过去学数列，总是想着等比等差，却忽略了其实还有很多很多数列是「无序数列」。 数学就是在这么多无序中，“嗖”地一下发现了规律。把一堆数串起来，找到了规律，这些数才组合在一起才有意义。 规律找着找着，就有了函数。仿佛get数学观察的逻辑～ 关于斐波那契数列，再补充一个小例子。一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发。 此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。18小时前
12 赞#数学助教# 买房子的问题，考虑房价增长的话，工资和房价都是指数增长，计算很简单，套公式即可，关键点在于确定起止范围。从时间点上来考虑，初始第0年，攒钱0，房间60。1年后，攒钱2*1.01^0=2,房价60*1.03^1。按照这个逻辑，n年后攒的钱为，2*(1+1.01+..+1.01^(n-1)) = 20*(1.01^n - 1)。n年后的房价为60*1.03^n。化简一下，1.1^n - 3*1.03^n > 1。直接用程序算，求出n=20。这个问题挺有现实意义。对比房价不增长的15年，差距很大，相当于15的1/3。如果工资增长再低点，将更难赶上房价的增长。低到一定程度将彻底无法追上7小时前
11 赞斐波那契数列真是宇宙大道，比起等差数列、等比数列，这个数列蕴含了更丰富的哲理。对于我来说，直到今天才真正能理解了这个数列的含义，感觉自己以前错过了一千个亿。 我觉得我们国家的数学课本，应该尽早的把斐波那契数列教授给孩子们。这能让下一代更早的理解数学和我们的生活联系的是多么的紧密。不要像我上学时那样，把数学当成一门只有枯燥的练习题的学问。12小时前
10 赞#数学助教# #0.1+0.2=？# 这个问题，让人解答，不出意外都会回答0.3。但是如果让计算机来算呢？如果不特殊处理（后面讲），用主流的编程语言写的代码算出来会是0.300...04。 why? 把进制想象成等比数列构成的坐标系。先看10进制里0.3是什么，0.3=0*10^0+3*10^(-1)。计算机使用二进制，这里不赘述浮点数的具体表示规则，只从原理出发。类似十进制，二进制想表示一个小数，也是把该数字分解成k=a*2^-1 + b*2^-2 + c*2^-3 +... 再看0.3，由于它无法找到整数的系数a b c...，所以计算机只能给个近似值。 在和计算机对话时要注意“准确”。如果想用计算机判断比如 a+b=0.3?时，条件直接判断等于，无法满足。改成 |a+b - 0.3| < e (e足够小)即可。当然，也可以使用支持decimal数据类型的语言，比如python 用decimal类型的0.1+0.2会得到0.36小时前
8 赞本课一些数学名词的英文说法，供大家参考。 数列（序列） sequence 级数 series （该词是单复同形） 数列或级数中的一个“项” term 极限（极限值） limit （级数）发散 diverge, divergent, divergence （级数）收敛 converge, convergent, convergence 数列和级数这两个提法有什么区别呢？ 数列，指的是按顺序排列的一系列的数，强调的是它们的变化规律。 级数（等价语是“无穷级数”），强调的是一个数列的项数趋于无穷大时，它们的求和值（极限值）的特***，是无穷大（发散）还是趋近于一个确定值（收敛）。11小时前
8 赞“数学真的很优美”。 （难怪吴军老师昨天的文中说的数学家是“如此清高的自命不凡”。其实想想，他们确实有这样的感觉，手握一只羽衣粉笔，在黑板上流畅地写下各种数列，并呈现出各种隐秘的关系时，是有多么自豪。我自己看着这些数列，再听着优美地旋律，想象着它们的变化和递进，真的觉得很美。 不过比起手中只有粉笔，我更喜欢另一只手还握着工具。那样既能一手在黑板上写出美丽的数学公式，又能转身创造和改变世界） 数列以一种内在的逻辑变化着，呈现当前数字、下一个数字、以及它们之间的关系。有一种看着现在、又展望未来、还能发现相互变化的关系。 以前学习时，就被这种变化所吸引，如果再加上老师今天的见解，用其来解释和指导现实世界的规律，那我相信我曾经的很多同学不会轻易放弃数学，反而会爱上数学。 所以，以后孩子们不能只是简单的学数学本身，还要启发他们用数学来看待世界、用数学来解决现实问题的思考。这样也更能激发他们热爱数学，一手握着艺术的粉笔，一手去创造世界。16小时前
赞如果说数列讲的是一个「趋势」，那么对级数的判断，就可以看作是分析「趋势的趋势」。 当数列有极限时，我们称数列的级数收敛；否则就称其为级数发散。 由此可推之，当我们想要踏足一个趋势获取收益/进步时，需要判断的是趋势的趋势是否会收敛——当趋势本身明显会收敛时，就该及时撤出，反之当趋势仍然发散时，则可以选择继续随着趋势前行。18小时前
7 赞以前学等比数列和等差数列的时候，就是仅仅以解一道道题的方式来看待它们，老师没有讲解过它们的历史溯源与流变，我也从来没有去想过它们到底和我的生活有什么关系，吴军老师今天的解读真是让我豁然开朗，也给我一个重要启发: 衡量一个好的知识服务，甚至说一个好的表达，很重要的一个因素，就是要想清楚、说清楚你的内容到底跟听众有什么关系，你的表达过程是不是发自内心地在关心你的听众，用心构建和经营与听众的关系，因为，每个人都是自恋的、注意力有限的，人们只会关心和记住那些跟自己有关的信息。17小时前
6 赞规律与趋势 吴军老师好：视角不同，结果千差万别，找到规律很重要，判断趋势更重要。数学给了人们一双洞察一切的慧眼，但是有的人看得通透，有的人仍会被细枝末节的问题困扰。就像老师常讲的西瓜与芝麻之间的关系，数字之间的差别是固定的，再大都是同级别的，指数之间的差别是累加的，再小都是量级之间的差别。找到事物背后的共同规律，正确的判断趋势，并合理的运用规律，是数学赋予我们的能力。它就像上帝给人类打开的如聚天眼，至此人类的心灵不会再被蒙蔽，人类的一切进步都具有了指数级的累加效应。 这样也进一步印证了一个问题，即“为什么自二战以后，人类社会无论从科技水平还是经济总量上观察，其发展趋势都是指数级别的。”观察事物的角度不同，思考问题的模式不同，处理问题的心态不同，总结规律的方法不同，这是造******们发展差异的四大问题。 对于现代人来说，虽然经济上的富裕和贫穷，能够带来了物质生活上的富足与匮乏，但这不是造******们个体差距的主要方面。一个人的“见识”和“格局”上的差别，才是给人们带来的指数级差别的主要矛盾。 把握住人生的关键节点，在吴军老师的指导下，更好的逼近人生发展的黄金轨迹，是《数学通识50讲》课程的同学需要关注的，愿每个同学都有自己的收获。感谢老师教诲，祝冬安！ 启航 2019年11月9日晨14小时前
4 赞需要19年才付得起首付 偷懒用图形计算器算的 找的交点 首付价格的公式:300*0.2*(1+0.3)^(x-1)60*(1+0.3)^(x-1) 首付储蓄的公式:2*(1-1.1^x)/(1-1.1)〖等比数列求和公式〗20*1.1^x-20 交点在18.95到19之间 19年房价: 510.73 首付:102.14 19年年薪:55.60 首付储蓄:102.328小时前
4 赞过去看待数学真的是孤立来看的，觉得那一道道题就是给学生做的，包括数列也是，就是按照一个规律瞎编一套数字然后让学生答题。 从这节课来看，让我印象最深的有两点，一个是数列要揭示的是趋势和规律，通过对数列的扩大，可以看到它指数级扩大后的威力。另一个就是斐波那契数列居然不能和黄金分割联系起来，再次体现数学之美。11小时前
3 赞万科2002~2006年净利润符合斐波那契数列：3，5，8，13，21……为什么会出现这种巧合呢？无法解释，或许也是按照某种商业规律发展进化的结果？或许是某种“优化方式”，使企业可以相对快速发展，又能证效益和质量？ 那两年，尤其2007年，中国股市、房市两头热，人们纷纷把钱投入，再次出现了市井无人不谈股票、无人不谈房价的疯狂情景。按照斐波那契数列发展，万科2007年的净利润应该是13+21=34亿元左右。事实上呢？市场过热背景下，2007年万科净利润48.4亿元，比上一年增长了110.8％！ 眼看万科就要扶摇直上的时候，斐波那契数列又发挥作用了——2008年净利润40.33亿元。如果把2007年超出斐波那契的部分（48.4–34=14.4）加到2008年的净利润上来：14.4+40.33，四舍五入，正好等于55，回到了斐波那契数列的轨迹：3，5，8，13，21，34，55…… 似乎有一种无形的力量，要求万科遵从这样的发展规律，一旦过热超速，就会在未来年份里跌落，恢复应有的轨迹。 如果未来几年照2007年110.8％的增速增长，万科会怎样？我的回答是：不可能，因为这个速度绝不可能持续。 —摘自王石《大道当然，我与万科》3小时前
3 赞今日思考题: 根据等比数列求和公式，年轻人第n年存下的钱为: 2x(1-1.1^n)/-0.1 第n年的房价首付款为: 60*(1+0.03)^n 若要年轻人在第n年付得起首付，则需要这两个式子的值相等，可得: 1.1^n-1≥3x1.03^n 这个方程我不会解，但是又因为n取正整数，我们按照从15到70(年轻人大概20多岁，按照70年买房，差不多就要到100岁了，再晚买房就没意义了)按照黄金分割率试，可知n≥20 当然，算到这里还不尽兴，我们假设这个年轻人第一年毕业的年收入为a，每年涨幅倍数为b(每年涨10％，则b=1.1)，每年能存下钱的比例为c，房价第一年为p，首付比例为x，房价每年涨幅为y，则在第n年年轻人能够付的起房子首付需要满足: a*(1-b^n)*c/(1-b)≥p*x*(1+y)^n 我们以2019北京应届毕业生平均薪酬为例，年收入为11463*12=137556元/年(假定为税后收入)，每年存20％，涨薪基准为8％每年，北京房价均价约为60000元/平方米，首付贷款20％，两居室大概100平方米，房价每年涨幅依然按照3％，所以在第n年，年轻人能买得起房需满足: 137556*0.2*(1-1.08^n/(1-1.08)≥ 60000*100*0.2*(1+0.03)^n 化简可得: 1.08^n-1≥3.5*1.03^n 解得n≥29 继续分析下去，我们知道，房价、首付比例、房价涨幅、毕业起薪我们很难改变，我们最容易改变的因素就两个: 1.每年存钱的比例(省吃俭用，精打细算) 2.每年的薪酬涨幅(通过努力工作学习) 我个人认为1的改变难度小于2 继续算下去，还以我给出的北京买房数据为例，则可得到下式: c*(1-b^n)/(1-b)≥8.72*1.03^n，此时 ①保持薪酬每年涨幅不变，每年存钱由20％增加为30％，则上式化简为: 1.08^n-1≥2.33*1.03^n 解得n≥24 ②保持每年存钱比例不变，薪酬涨幅由每年8％增加为每年18％，则上式化简为: 1.18^n-1≥7.848*1.03^n 解得n≥16 由此可粗略看出，想方设法开源比节流来得意义要大一些，当然开源的难度也更大。 再看一个实例，我们都知道“学如逆水行舟”这句话，按照数学的方法，我们不妨理解为，学习一天，就会进步一点，一天不学就会倒退1天的水平，我们可以得出: ①一年中每天都学习: 1.01^365=37.78 ②一年中每周玩1天: 1.01^310*0.99^55=12.58 ③一年中每周玩2天: 1.01^260*0.99^105=4.63 ④一年中每周玩3天: 1.01^208*0.99^157=1.64 ⑤一年中每周玩4天: 1.01^156*0.99^209=0.58 ⑥一年中每周玩5天: 1.01^104*0.99^261=0.2 ⑦一年中每周玩6天: 1.01^52*0.99^313=0.07 ⑧一年中每周玩8天: 0.99^365=0.026 所以，学霸之所以厉害就是因为每天都学呀！从不断节奏，而一周哪怕只放松1天，1年下来效果就只剩1/34小时前
3 赞真是没有想到，在斐波那契数列的背后，也蕴藏着黄金分割的数学原理，可能这也正是数学神奇和美妙之所在。所以，我们学习数学，并不只是去了解那一串串冰冷的数字、公式和定理，而是要学会从中去揭示一些普遍的规律和趋势。在如今的信息时代，我们身处的这个世界已经是无比复杂，很多时候，仅仅依靠个人的直接和经验，只能解决一些简单的小问题，而对于大多数复杂的问题，我们可能有一种无能为力的挫败感。学习数学，特别学习是前人已经总结出来的那些具有普遍意义的规律，不仅能够增加个人的经验，再遇到同类问题，就不会感到手足无措；更重要的是，通过这样的学习，能够帮助我们掌握寻找规律和趋势的科学方法。这样，当我们面对新问题的时候，虽然不能马上得到答案，但是却可以运用正确的方法去求解。这其实就是个人在见识上的一种提升了。18小时前
2 赞老师好，我理解今天的课程，如果说黄金分割点是一个固定存在的实体，那么斐波那契数列则是用趋势的表现形式来展现黄金分割，有种殊途同归的味道。 以自己个人为例，在学习得到上很多课程之后，最重要的是要建立一个自己对于知识吸收的框架体系，很多老师也强调这一点，这样才好对陌生的领域探索形成自己的认知模型，不单单是了解新名词，掌握新概念，如何用线索串联构建体系，而非孤立看问题是学习的本质。 同时既然每个知识点有自己的表达方式，也更体会之间的差异，不可完全用相似的概念进行套用，而忽略差异。就比如黄金分割点在实际中可运用于建筑、表演、摄影等具体实操业务中，而斐波那契数列则需要对数据，对趋势的积累中逐步获得，是一种长期主义。对个人的能力维度是有差异的。 以上为个人这两天对黄金分割的意义思考，请指正。7小时前